sábado, 18 de julio de 2015

unidad 4

                                                  Relaciones y Funciones   

RESEÑA HISTÓRICA 


En la historia de las matemáticas se le dan créditos al matemático suizo Leonhard Euler(1707-1783) por precisar el concepto de función, así como por realizar un estudio sistemático de todas las funciones elementales, incluyendo sus derivadas e integrales; sin embargo, el concepto mismo de función nació con las primeras relaciones observadas entre dos variables, hecho que seguramente surgió desde los inicios de la matemática en la humanidad, con civilizaciones como la babilónica, la egipcia y la china.

Par Ordenados 
un par ordenado es un conjunto de dos elementos A y B que  tiene un orden, al elemento A se lo llama primera componente y al elemento B segunda componente. se lo representa simbólicamente .(a,b).
(a,b,c)

Producto Cartesiano
sea 2 conjuntos (A y B) no vacíos denominaremos producto cartesiano entre A y B al conjunto de todos los pares ordenados cuya primera componente pertenece al conjunto A y la segunda componente al conjunto B , simbólicamente  se lo representa .
AXB
Ejemplo:


Relaciones 
una relación establece  la correspondencia entre los elementos de un conjunto no vació
 A y B . Generalmente  al conjunto A se lo llama conjunto de partida y al conjunto B conjunto de llegada  simbólicamente  se lo representa .

R ⊆ AXB


Dominio de una Relación
Dada una relación construida a partir de los conjuntos A y B los elementos del conjunto A que establecen correspondencia constituyen  el dominio de la relación.se lo representa Dom R.
   
Rango de una Relación 
Dada una relación construida a partir  de los conjuntos  A y B .Loa elementos del conjunto B que se relacionan con los elementos del dominio de R .constituye el rango de una relación   .


FUNCIÓN 
Una relación de A y B es una función si y solo si el dominio de la relación  es todo el conjunto de partida y si a cada elemento del dominio le corresponde un único  elemento de rango.




FUNCIONES DE VARIABLE REAL 

DOMINIO DE LA FUNCIÓN
Sea F una función de variable real ,el conjunto x para  el que  se encuentra  definido constituye el dominio de la función.

Consideraciones  

-Cuando sea un cociente  que el denominador , si hay  X nunca se haga cero .
-cuando tenga  una raíz de indice par debo tomar en cuenta  de que no sea negativa. 

RANGO  DE LA FUNCIÓN
Sea  F una función de variable real ,el conjunto de todas las imágenes de los elementos del dominio constituye el rango de la función.se representa simbólicamente Rg f.

Pasos 

-Despejar X 
-El rango sera el conjunto de valores que tome la variable Y.


REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA  FUNCIÓN
A cada X le pertenece un solo Y .
si F es una función de A en B entonces la gráfica de F es el conjunto de pares ordenados de A en B tales que su coordenada son (x,y). 

CRITERIO DE LA RECTA VERTICAL 
Si cualquier recta  vertical intersecta la gráfica en un solo punto es función.
si hay dos puntos al interceptar la recta es relación 



TIPOS DE FUNCIONES 

FUNCIÓN INYECTIVA : También es de uno a uno F es inyectiva si cada elemento del rango  es imagen exclusiva de un único elemento del dominio ademas la N(A) ≤ N(B).
Ejemplo:
                            


FUNCIÓN SOBREYECTIVA : F es sobreyectiva si Rg:B , ademas N(A)≥ N(B).
Ejemplo:

                                   
FUNCIÓN BIYECTIVA  : F es una función biyectiva  si y solo si es inyectiva y sobreyectiva  a la vez.
FUNCIÓN CRECIENTE 
  • Una función y=f(x)  es  creciente cuando al aumentar la variable independiente, x, aumenta la variable dependiente, y.
FUNCIÓN DECRECIENTE  
  • Una función y=f(x) es decreciente cuando al aumentar la variable independiente, x, disminuye la variable dependiente, y.
FUNCIÓN CONSTANTE  
  • Una función y=f(x) es constante cuando al aumentar la variable independiente, x, la variable dependiente, y, no varía.

FUNCIÓN MONÓTONA

Se dice que F es una función monótona en un intervalo I , si y solo si F es estrictamente creciente o estrictamente decreciente en ese intervalo.   



FUNCIÓN PARES E IMPARES 
PAR:Una función f es par si para cada número x en su dominio el número –x también está en su dominio y f(-x) = f(x).
IMPAR: Una función f es impar si para cada número x en su dominio el número –x también está en su dominio y f(-x) = -f(x).

FUNCIÓN PERIÓDICA
Es aquella función cuyos valores se repiten cada cierto tiempo .dicho tiempo se denomina periodo (T).

FUNCIÓN ACOTADA 
Se dice  que es una función acotada , donde M y N son valores reales que  se denomina cota superior y cota  inferior , respectivamente.

Cota Superior

acotada_sup

Cota Inferior 
acotada_inf

FUNCIÓN DEFINIDA POR TRAMOS 

Las funciones definidas a trozos se llaman de esta manera porque tienen una definición diferente en cada tramo en el que están definidas. Por ejemplo,


es una función definida a trozos, en cada “trozo” de su dominio tiene una definición.

Para valores de la variable menores o iguales que −2 la función está definida como x2 + x − 4 ; si la variable está entre −2 y 3 la función es x + 1 y entre 3 y 10 es igual a 2.5.

FUNCIÓN LINEAL 
Sea A y  B Números reales , la función F de R en R  cuya regla de correspondencia es f(x)=ax+b.
Ejemplo:





Cortes de X y  Y 
x=(-b/a,0)
y=(0,b)

a._ (a>0)  \and  (b>0)




b._ (a>0)  \and  (b<0)



c._ (a<0)  \and  (b>0)


d._ (a<0)  \and  (b<0)


APLICACIÓN DE FUNCIONES REALES 

Ejemplos :
Los costos fijos de un fabricante  son iguales a 10.000 mensuales y el costo de fabricar  una camisa es de 15 dolares si se requiere representar matemáticamente la función de costos de fabrica. 
f(x)=ax+b
f(x)=5x+10.000
(-2.000/5,0)
(0,10.000)
15
En la ciudad de Guayaquil existían 1420 médicos después de n años el numero de médicos que trabaja en la cuidad viene dado por. 

a.cuantos médicos trabajaba en la ciudad al comienzo del año 2014
b.En que año hubo por primera  vez mas de 2.000 médicos trabajando en la ciudad.

D(n)=1420+100n
       =1420+100(20)
       =1420+2000
       =3420

D(n)=100(6)+1420
       =600+1420
       =2020

En el 2000 hubieron  mas de 2000 médicos trabajando por primera vez 


x=-b/a
x=1420/100
x=-71/5


y=1420



Funciones Cuadráticas 
Sea  a,b,c números reales con a ≠ 0, la función f de R en R cuya  regla de correspondencia es:f(x)=ax2+bx+c
Forma Canónica de la función cuadrática 
 Vértice

  1. 1 ) Si a > 0 , entonces:
  2. - La función decrece en el intervalo
  3. - Crece en el intervalo:
  4. 2 ) Si a < 0 , entonces:
  5. - La función crece en el intervalo
  6. -Decrece en el intervalo:• 

Para  la Función Cuadrática Existen 6 Tipos de Gráficos

a. (a>0)  \and  (>0)

b. (a>0)  \and  (∆=0)


c. (a>0)  \and  (∆<0)


d. (a<0)  \and  (∆>0)


e .(a<0)  \and  (∆=0)

f. (a<0)  \and  (∆<0)