conjuntos: unidad 4

Relaciones y Funciones

RESEÑA HISTÓRICA

En la historia de las matemáticas se le dan créditos al matemático suizo Leonhard Euler(1707-1783) por precisar el concepto de función, así como por realizar un estudio sistemático de todas las funciones elementales, incluyendo sus derivadas e integrales; sin embargo, el concepto mismo de función nació con las primeras relaciones observadas entre dos variables, hecho que seguramente surgió desde los inicios de la matemática en la humanidad, con civilizaciones como la babilónica, la egipcia y la china.

Par Ordenados

un par ordenado es un conjunto de dos elementos A y B que tiene un orden, al elemento A se lo llama primera componente y al elemento B segunda componente. se lo representa simbólicamente .(a,b).

(a,b,c)

Producto Cartesiano

sea 2 conjuntos (A y B) no vacíos denominaremos producto cartesiano entre A y B al conjunto de todos los pares ordenados cuya primera componente pertenece al conjunto A y la segunda componente al conjunto B , simbólicamente se lo representa .

AXB

Ejemplo:

Relaciones

una relación establece la correspondencia entre los elementos de un conjunto no vació

A y B . Generalmente al conjunto A se lo llama conjunto de partida y al conjunto B conjunto de llegada simbólicamente se lo representa .

R ⊆ AXB

Dominio de una Relación

Dada una relación construida a partir de los conjuntos A y B los elementos del conjunto A que establecen correspondencia constituyen el dominio de la relación.se lo representa Dom R.

Rango de una Relación

Dada una relación construida a partir de los conjuntos A y B .Loa elementos del conjunto B que se relacionan con los elementos del dominio de R .constituye el rango de una relación .

FUNCIÓN

Una relación de A y B es una función si y solo si el dominio de la relación es todo el conjunto de partida y si a cada elemento del dominio le corresponde un único elemento de rango.

FUNCIONES DE VARIABLE REAL

DOMINIO DE LA FUNCIÓN

Sea F una función de variable real ,el conjunto x para el que se encuentra definido constituye el dominio de la función.

Consideraciones

-Cuando sea un cociente que el denominador , si hay X nunca se haga cero .

-cuando tenga una raíz de indice par debo tomar en cuenta de que no sea negativa.

RANGO DE LA FUNCIÓN

Sea F una función de variable real ,el conjunto de todas las imágenes de los elementos del dominio constituye el rango de la función.se representa simbólicamente Rg f.

Pasos

-Despejar X

-El rango sera el conjunto de valores que tome la variable Y.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

A cada X le pertenece un solo Y .

si F es una función de A en B entonces la gráfica de F es el conjunto de pares ordenados de A en B tales que su coordenada son (x,y).

CRITERIO DE LA RECTA VERTICAL

Si cualquier recta vertical intersecta la gráfica en un solo punto es función.

si hay dos puntos al interceptar la recta es relación

TIPOS DE FUNCIONES

FUNCIÓN INYECTIVA : También es de uno a uno F es inyectiva si cada elemento del rango es imagen exclusiva de un único elemento del dominio ademas la N(A) ≤ N(B).
Ejemplo:

FUNCIÓN SOBREYECTIVA : F es sobreyectiva si Rg:B , ademas N(A)≥ N(B).
Ejemplo:

FUNCIÓN BIYECTIVA : F es una función biyectiva si y solo si es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

FUNCIÓN CRECIENTE

Una función y=f(x) es creciente cuando al aumentar la variable independiente, x, aumenta la variable dependiente, y.

FUNCIÓN DECRECIENTE

Una función y=f(x) es decreciente cuando al aumentar la variable independiente, x, disminuye la variable dependiente, y.

FUNCIÓN CONSTANTE

Una función y=f(x) es constante cuando al aumentar la variable independiente, x, la variable dependiente, y, no varía.

FUNCIÓN MONÓTONA

Se dice que F es una función monótona en un intervalo I , si y solo si F es estrictamente creciente o estrictamente decreciente en ese intervalo.

FUNCIÓN PARES E IMPARES

PAR:Una función f es par si para cada número x en su dominio el número –x también está en su dominio y f(-x) = f(x).

IMPAR: Una función f es impar si para cada número x en su dominio el número –x también está en su dominio y f(-x) = -f(x).

FUNCIÓN PERIÓDICA

Es aquella función cuyos valores se repiten cada cierto tiempo .dicho tiempo se denomina periodo (T).

FUNCIÓN ACOTADA

Se dice que es una función acotada , donde M y N son valores reales que se denomina cota superior y cota inferior , respectivamente.

Cota Superior

Cota Inferior

FUNCIÓN DEFINIDA POR TRAMOS

Las funciones definidas a trozos se llaman de esta manera porque tienen una definición diferente en cada tramo en el que están definidas. Por ejemplo,

es una función definida a trozos, en cada “trozo” de su dominio tiene una definición.

Para valores de la variable menores o iguales que −2 la función está definida como x² + x − 4 ; si la variable está entre −2 y 3 la función es x + 1 y entre 3 y 10 es igual a 2.5.

FUNCIÓN LINEAL

Sea A y B Números reales , la función F de R en R cuya regla de correspondencia es f(x)=ax+b.

Ejemplo:

Cortes de X y Y

x=(-b/a,0)

y=(0,b)

a._ (a>0) $\and$ (b>0)

b._ (a>0) $\and$ (b<0)

c._ (a<0) $\and$ (b>0)

d._ (a<0) $\and$ (b<0)

APLICACIÓN DE FUNCIONES REALES

Ejemplos :

Los costos fijos de un fabricante son iguales a 10.000 mensuales y el costo de fabricar una camisa es de 15 dolares si se requiere representar matemáticamente la función de costos de fabrica.

f(x)=ax+b

f(x)=5x+10.000

(-2.000/5,0)

(0,10.000)